1. Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите ее радиус.
Решение.
Докажем сначала следующее утверждение. Если – расстояние между центрами
окружностей радиусов r и R
, общая
внешняя касательная касается окружностей в точках A и B общая внутренняя – в точках C
и D, то
. Действительно, пусть
и 
– центры окружностей радиусов r
и
R соответственно
(рис.1). Из точки и опустим перпендикуляры на прямую 
на прямую 
и 
на
прямую 
. Из прямоугольных треугольников 
и 
находим, что
Следовательно,
.Пусть x – радиус искомой окружности, O – ее центр. Заметим, что прямая CD – либо общая внешняя касательная окружностей с центром O и
(рис.2),
либо окружностей с центрами O
и (рис.3). В первом из этих случаев искомая окружность
касается прямой CD в точке C , вовтором – в точке D.
По доказанному 
.
В первом случае CD – общая внешняя касательная к окружностям с центрами O и, поэтому 
, значит,
. Следовательно, x
= 24/4.
Во втором случае CD – общая внешняя касательная к окружностям с центрами O и, поэтому 
,
значит, 
.
Следовательно, x = 189/4.
Ответ: 24/4 или 189/4.
.В первом случае CD – общая внешняя касательная к окружностям с центрами O и
, поэтому , значит,
. Следовательно, x
= 24/4.Во втором случае CD – общая внешняя касательная к окружностям с центрами O и
, поэтому ,
значит, .Следовательно, x = 189/4.
Ответ: 24/4 или 189/4.
